Хочу узнать мнение Церкви по поводу усыпления безнадёжно больного животного, с целью избавить его от дальнейших страданий. Где об этом говорится?

Здравствуйте, Евгения!

Усыпление животного – это достаточно новое явление и никаких канонических правил относительно его не существует. Посему дать ссылки на источники невозможно. От себя же могу сказать, что Господь даровал человеку власть над всеми живыми существами, и он волен поступать по своему разумению.